Kalkulator błędu procentowego

Wzór na błąd procentowy

Każdy kalkulator błędu procentowego działa według tego samego wzoru. Bierzesz różnicę między wartością zaobserwowaną a prawdziwą, wartość bezwzględną tej różnicy, dzielisz przez wartość prawdziwą i mnożysz przez 100:

$$ \%\ \text{błąd} = \left| \frac{V_{\text{zaobserwowana}} - V_{\text{prawdziwa}}}{V_{\text{prawdziwa}}} \right| \times 100 $$

W tym wzorze V oznacza wartość — V_observed to to wynik pomiaru, a V_true to przyjęta lub teoretyczna wartość, z którą się porównujesz. Cały sens polega na właściwym doborze licznika i mianownika: licznik to zawsze różnica obu wartości, a mianownik to zawsze wartość prawdziwa, nigdy ta, którą zmierzono.

Wzór na błąd bezwzględny

Zanim obliczysz błąd procentowy, potrzebujesz błędu bezwzględnego — zwykłej różnicy między wartością zaobserwowaną a prawdziwą, ze znakiem usuniętym przez kreski wartości bezwzględnej:

$$ \text{błąd bezwzględny} = |V_{\text{zaobserwowana}} - V_{\text{prawdziwa}}| $$

Jeśli waga pokazuje 1.2 kg, a rzeczywista masa to 1.5 kg, błąd bezwzględny wynosi po prostu 0.3 kg — jeszcze bez procentów, tylko surowa rozbieżność.

Wzór na błąd względny

Podziel ten błąd bezwzględny przez wartość prawdziwą, a otrzymasz wzór na błąd względny, czyli postać dziesiętną błędu procentowego przed pomnożeniem przez 100:

$$ \text{błąd względny} = \left| \frac{V_{\text{zaobserwowana}} - V_{\text{prawdziwa}}}{V_{\text{prawdziwa}}} \right| $$

Błąd względny 0.05 to dokładnie błąd procentowy 5% — od jednego do drugiego dzieli cię tylko mnożenie przez 100.

Jak obliczyć błąd procentowy krok po kroku

Całe obliczenie wykonasz ręcznie w czterech krokach:

1. Ustal, która liczba jest wartością teoretyczną (prawdziwą), a która doświadczalną (zmierzoną).
2. Odejmij wartość teoretyczną od doświadczalnej, aby otrzymać różnicę między nimi.
3. Weź wartość bezwzględną wyniku, a potem podziel ją przez wartość teoretyczną.
4. Pomnóż przez 100, aby zamienić błąd względny na procent.

Przykład z chemii: ciepło właściwe

Załóżmy, że w doświadczeniu kalorymetrycznym wyznaczasz ciepło właściwe aluminium. Wartość przyjęta to 0.903 J/g°C, a Twój pomiar dał 0.880 J/g°C. Różnica wynosi -0.023, a po wzięciu wartości bezwzględnej 0.023. Po podzieleniu przez wartość prawdziwą 0.903 wychodzi około 0.0255, czyli po pomnożeniu przez 100 błąd 2.55% — świetny wynik do sprawozdania, wyraźnie poniżej progu 5%, którego oczekuje większość nauczycieli.

Przykład z fizyki: przyspieszenie ziemskie

Teraz przypuśćmy, że mierzysz czas wahnięcia wahadła, by oszacować przyspieszenie ziemskie, a Twoja konfiguracja nie jest idealna. Przyjęte przyspieszenie ziemskie to 9.81 m/s², ale Ci wyszło 10.5 m/s². Różnica wynosi 0.69, a po podzieleniu przez 9.81 otrzymujesz około 0.0703 — czyli błąd 7.03%, wyraźnie większy, który powinien skłonić Cię do sprawdzenia oporu powietrza lub błędu w pomiarze czasu, zanim napiszesz sprawozdanie.

Błąd procentowy, różnica procentowa i błąd standardowy

Błąd procentowy nie jest jedynym narzędziem do porównywania liczb, a mylenie go z pokrewnymi pojęciami to szybki sposób na błędnie podane wyniki.

Gdy nie ma wartości prawdziwej: różnica procentowa

Użyj różnicy procentowej zamiast błędu procentowego, gdy porównujesz dwie wartości zmierzone i żadna z nich nie jest znaną, przyjętą liczbą. Zamiast dzielić przez wartość prawdziwą, dzielisz przez średnią z obu:

$$ \text{różnica procentowa} = \frac{|A - B|}{\left(\frac{|A| + |B|}{2}\right)} \times 100 $$

Na przykład jeśli dwie próby pomiaru prędkości dźwięku dały 329 m/s i 343 m/s, bierzesz różnicę między nimi (14), dzielisz przez średnią z obu (336) i mnożysz przez 100 — to obliczenie różnicy procentowej, a nie błędu procentowego, bo żaden z odczytów nie jest „prawdziwą” wartością odniesienia.

Błąd standardowy i margines błędu

Gdy pracujesz z całym zbiorem danych, a nie z pojedynczym pomiarem, rolę sprawdzianu dokładności przejmują zamiast błędu procentowego odchylenie standardowe i błąd standardowy. Błąd standardowy opisuje, jak dokładnie średnia próby odzwierciedla całą populację, i wchodzi bezpośrednio do marginesu błędu podawanego razem z przedziałem ufności — pomnóż błąd standardowy przez odpowiednią wartość z, a otrzymasz margines błędu dla danego poziomu ufności.