Калькулятор відсоткової похибки

Формула відсоткової похибки

Кожен калькулятор відсоткової похибки працює за однією формулою. Ви берете різницю між спостереженим і істинним значеннями, знаходите її модуль, ділите на істинне значення й множите на 100:

$$ \%\ \text{похибка} = \left| \frac{V_{\text{виміряне}} - V_{\text{істинне}}}{V_{\text{істинне}}} \right| \times 100 $$

У цій формулі V означає значення: V_observed — те, що ви виміряли, а V_true — прийняте або теоретичне значення, з яким ви порівнюєте. Головне — правильно розставити чисельник і знаменник: чисельник завжди дорівнює різниці двох значень, а знаменник — це завжди істинне значення, ніколи не виміряне вами.

Формула абсолютної похибки

Перш ніж обчислити відсоткову похибку, потрібна абсолютна похибка — проста різниця між спостереженим і істинним значеннями, у якої знак прибрано модулем:

$$ \text{абсолютна похибка} = |V_{\text{виміряне}} - V_{\text{істинне}}| $$

Якщо ваги показують 1.2 фунта, а справжня маса — 1.5 фунта, абсолютна похибка становить просто 0.3 фунта: поки жодних відсотків, лише сира різниця.

Формула відносної похибки

Поділіть абсолютну похибку на істинне значення, і вийде формула відносної похибки — десяткова форма відсоткової похибки до множення на 100:

$$ \text{відносна похибка} = \left| \frac{V_{\text{виміряне}} - V_{\text{істинне}}}{V_{\text{істинне}}} \right| $$

Відносна похибка 0.05 — це те саме, що відсоткова похибка 5 %; єдиний крок між ними — множення на 100.

Як обчислити відсоткову похибку крок за кроком

Весь розрахунок можна виконати вручну за чотири кроки:

1. Визначте, яке число є теоретичним (істинним) значенням, а яке — вашим експериментальним (виміряним).
2. Відніміть теоретичне значення від експериментального, щоб знайти різницю між ними.
3. Візьміть модуль цього результату, потім поділіть на теоретичне значення.
4. Помножте на 100, щоб перетворити відносну похибку на відсоток.

Приклад із хімічної лабораторії (питома теплоємність)

Припустімо, ви проводите калориметричний експеримент, щоб визначити питому теплоємність алюмінію. Прийняте значення — 0.903 Дж/г°C, а ваш виміряний результат — 0.880 Дж/г°C. Різниця дорівнює -0.023, її модуль — 0.023. Поділіть на істинне значення 0.903 і отримаєте приблизно 0.0255, тобто похибка 2.55 % після множення на 100. Це чудовий результат для лабораторного звіту, значно менший за поріг у 5 %, якого зазвичай чекають викладачі.

Приклад із фізичної лабораторії (прискорення вільного падіння)

Тепер припустімо, що ви вимірюєте період коливань маятника, щоб оцінити прискорення вільного падіння, а вільне падіння у вашій установці не зовсім ідеальне. Прийняте прискорення вільного падіння — 9.81 м/с², а ваш результат — 10.5 м/с². Різниця становить 0.69, і після ділення на 9.81 виходить приблизно 0.0703, тобто похибка 7.03 %. Вона помітно більша, тож перед написанням звіту варто перевірити вплив опору повітря або помилку у вимірі часу.

Відсоткова похибка, відсоткова різниця та стандартна похибка

Відсоткова похибка — не єдиний спосіб порівнювати числа, а плутанина з близькими поняттями швидко призводить до неправильного звітування про результати.

Коли істинного значення немає: відсоткова різниця

Використовуйте відсоткову різницю замість відсоткової похибки, коли порівнюєте два виміряні значення, жодне з яких не є відомим прийнятим числом. Замість ділення на істинне значення ви ділите на середнє двох:

$$ \text{відсоткова різниця} = \frac{|A - B|}{\left(\frac{|A| + |B|}{2}\right)} \times 100 $$

Наприклад, якщо два досліди з вимірювання швидкості звуку дали 329 м/с і 343 м/с, візьміть різницю між ними (14), поділіть на їхнє середнє (336) і помножте на 100 — це розрахунок відсоткової різниці, а не відсоткової похибки, оскільки жоден із показів не є «істинним» еталоном.

Стандартна похибка та похибка вибірки

Коли ви працюєте з цілим набором даних, а не з одним виміром, перевірку точності беруть на себе стандартне відхилення та стандартна похибка. Стандартна похибка показує, наскільки точно середнє вибірки відображає всю генеральну сукупність, і від неї безпосередньо залежить похибка вибірки, яку наводять поруч із довірчим інтервалом: помножте стандартну похибку на відповідний z-бал, і ви отримаєте похибку вибірки для заданого рівня довіри.