APRからAPYへの変換

APRと年間の複利計算回数を入力して、相当するAPYを求めます。

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APY:–

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ローンの年率(APR)と預金の年間利回り(APY)は、片方をもう一方に換算してはじめて正しく比べられます。このAPR→APY変換ツールは、表示されている利率を複利を反映した利率へ、またその逆方向へ変換します。上の欄に数値を入力すると、複利を考慮した場合に実際に受け取る、または支払う利率がすぐに表示されます。クレジットカードの条件や預金商品を比べるときのために、以下では画面上の数値の意味が分かるよう計算の仕組みを説明します。

APR→APY変換ツールの仕組み

利率と複利計算の頻度(毎日、毎月、四半期ごと、毎年)を選ぶと、通年で実際に受け取る年間利回り(APY)が表示されます。モードを切り替えれば逆方向にも使え、APYを入力すると貸し手が提示しているはずの利率を逆算します。APRからAPYへの換算でもAPYからAPRへの換算でも、必要な要素は利率、年間の複利計算の回数、期間の三つだけです。

入力する項目と表示される結果

どの式を使うかを事前に知っている必要はありません。手元にある数値を入力すれば、計算ツールが自動で適切な方向を選びます。

  • 利率の種類 — 入力する数値が名目のAPRか、複利を反映済みのAPYかを選びます。
  • 複利計算の頻度 — 毎日、毎週、毎月、四半期ごと、半年ごと、または連続複利から選びます。
  • 元の金額(任意)— 残高を入力すると、利率だけでなく受け取る、または支払う利息の金額も確認できます。

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年率(APR)とは?

APRは、複利を適用する前に貸し手が提示する名目の年利です。借入額に対する金利に、多くの場合は手数料を含めた総コストを表します。住宅ローンの契約書、クレジットカードの明細、自動車ローンの条件などに記載されている数値で、複利を含まない表示上の借入コストを示します。

貸し手がAPRの単利を計算する方法

最も単純な形では、APRは手数料と利息の合計を元本で割り、さらに借入期間(年数)で割って、パーセントで表したものです。

$$APR = \frac{\text{手数料} + \text{利息}}{\text{元本}} \times \frac{1}{\text{年}} \times 100$$

APRは複利を考慮しないため、見かけの数値が同じ二つの借入でも、複利計算の頻度によって実際の負担額は大きく変わることがあります。この変換ツールは、その差を埋めるためのものです。貸し手がAPYではなくAPRを広告に使うのは、複利を含まない数値のほうが実際の借入コストより小さく見えるためです。

年間利回り(APY)とは?

年間利回り(APY)は、複利を考慮した年間の収益率です。APRが単利だけを反映するのに対し、APYでは、ある期間に付いた利息が次の期間には元本として利息を生むことが反映されます。銀行が預金商品でAPYを広告に使うのは、元の利率だけを示すよりも実効利回りが高く見えるためです。

APYとAPRの違いを生むのは複利

複利計算の頻度が高いほど、APYは元のAPRから大きく上に離れていきます。年6%を年に一度の複利で計算するとAPYは6%のままですが、同じ利率を毎日複利で計算すると6.18%を超えます。この増加分は、年間を通して利息がより頻繁に加算され、その利息がさらに利息を生むことだけで生じます。

APRからAPYへの換算(とその逆)

APRからAPYへ換算するときは、利率の大きさにかかわらず一つの式を使います。利率を小数で表し、複利計算の回数で割って1を足し、同じ回数だけ累乗して、最後に1を引きます。

$$APY = \left(1 + \frac{APR}{n}\right)^{n} - 1$$

ここでnは年間の複利計算の回数です。手順にすると次のとおりです。

  1. APRを100で割って小数で表します。
  2. その小数を複利計算の頻度で割ります。
  3. 結果に1を足し、年間の複利計算の回数だけ累乗します。
  4. 1を引き、100を掛けてAPYをパーセントで表します。

計算例:APRからAPYへ

あるローンのAPRが12%で、毎月複利(n = 12)だとします。0.12を12で割ると0.01、1を足すと1.01、これを12乗するとおよそ1.1268になり、1を引いてパーセントに戻すとAPYは約12.68%です。毎月複利で計算することで、この0.68ポイントの差が実際に加算される利息になります。

式を逆にする:APYからAPRへ

実効利回りが分かっていて、銀行が内部で使っている利率を知りたい場合は、式を逆にします。

$$APR = \left[\left(1 + APY\right)^{\frac{1}{n}} - 1\right] \times n$$

計算例:APYからAPRへ

ある預金商品がAPY 5%、四半期ごとの複利(n = 4)を掲げているとします。1.05を0.25乗するとおよそ1.01227、1を引くと0.01227、4を掛けるとAPRは約4.91%です。APYにはすでに複利の効果が含まれているため、この逆算でAPRは表示されたAPYよりやや低くなります。

複利計算の頻度で結果が変わる

名目の年利が同じでも、複利計算の頻度によってAPYは変わります。毎週、毎月、毎日と頻度を上げるほど、表示された利率は数学上の上限に近づいていきます。次の表は、実際の口座でよく見られる頻度ごとに、APR 6%をAPYに換算した結果です。

複利計算の頻度年間の計算回数(n)APR 6%のAPY
毎年16.000%
半年ごと26.090%
四半期ごと46.136%
毎月126.168%
毎週526.180%
毎日3656.183%
連続—6.184%

連続複利とは

連続複利は、複利計算の頻度を限りなく増やした数学上の極限です。一定の間隔ではなく、あらゆる瞬間に利息が計算されて加算されます。期間の回数ではなく、ネイピア数(e ≈ 2.71828)を使って計算します。

$$APY = e^{r} - 1$$

実際に連続で複利計算される口座はありませんが、この考え方はオプション価格の計算(ブラック・ショールズ・モデルで多用されます)や理論的な金融の分野で使われ、異なる利率を組み合わせる際の計算を簡単にします。このような計算を実効年率(EAR)の計算ツールと呼ぶサイトもあります。複利を含めた実効的な数値という点で、EARとAPYは同じものを指すためです。

APRとAPY:どちらの利率で比べるべきか

APRとAPYは、同じ数値を二つの角度から表したものです。名目の利率と、複利を含めた実効の年率です。どちらかが優れているわけではなく、取引でどちらの立場にいるかによって見るべき数値が変わります。

貸し手はAPR、銀行はAPYを広告に使う理由

貸し手がローン、住宅ローン、クレジットカードでAPRを提示するのは、手数料や複利を含めた実際の借入コストより、名目の年利のほうが小さく見えるためです。預金商品では銀行がその逆を行います。複利が有利に働く効果がすでに含まれているため、広告のAPYは元の利率より大きく見えます。住宅ローンのAPRと普通預金のAPYを、どちらかを換算せずにそのまま比べることは、どちらのコストが高い、あるいはどちらの収益が高いかを誤って判断する最も多い原因の一つです。

利率換算ツールを使う場面

銀行や貸し手などの金融機関が数値を提示するあらゆる場面で、このような利率換算ツールが役立ちます。表示されている数値は、実際に体験する数値とは異なることが多いためです。

普通預金と定期預金(CD)

  • 高利回りの預金を、表面上の数値ではなく実効的な利回りで比べる。
  • 期間を決めて預ける前に、定期預金(CD)で実際にいくら受け取れるかを見積もる。
  • マネーマーケット口座の複利計算のスケジュールによって、実際の受取額が大きく変わるかどうかを確認する。

クレジットカードと住宅ローン

  • リボルビング残高に毎日複利がかかると、記載されているAPRより実際の支払いコストが高くなる仕組みを理解する。
  • 住宅ローンのAPRを実効年率に換算し、複数の条件をより分かりやすく並べて比べる。
  • 融資手数料や前払い手数料を含めた、個人向けローンの実際の年間コストを確認する。

この種の換算は、個人の資産運用や銀行取引に実際に役立つ知識です。信用組合の定期預金(CD)を評価する場合でも、大手貸し手の住宅ローンを評価する場合でも、同じ数式を使います。

インフレの調整:実質金利

APYが高いからといって、実質的にお金が増えているとは限りません。インフレを考慮すると、物価が上がった後に実際に手元に残る価値は、広告の数値とは大きく異なることがあります。

$$\text{実質利率} \approx APY - \text{インフレ率}$$

項目値
預金のAPY4.07%
インフレ率(消費者物価指数)8.50%
実質金利-4.43%

この例では、名目のAPYだけを見るとプラスですが、インフレ率を引くと上の数値のようにマイナスになります。期間ごとに利息が付いていても、残高の購買力は失われていきます。

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APRとAPYを比べるときのよくある間違い

APRとAPYの混同の大半は、同じ基準になっていない数値を比べることから生じます。

  • ローンのAPRと預金のAPYを、同じ種類に換算せずにそのまま比べる。
  • 広告の利回りに示されていない手数料、最低残高の条件、キャンペーン条件を見落とす。
  • すべての口座やローンが同じスケジュールで複利計算されると思い込む。同じ利率でも、毎日、毎月、四半期ごとの複利では実際の結果が異なります。

名目利率と実効利率の混同

最も多い誤りは、表示されている利率と複利を反映した利率を同じものとして扱うことです。名目12%と実効12%は同じ運用ではありません。一方は複利の効果がすでに含まれ、もう一方は含まれていません。ローンと預金を比べるときにこれを混同すると、どちらが有利かについて大きく誤った結論になりかねません。

どの数値から始める場合でも、まずこの変換ツールに通すことが、ローン、預金、投資商品を同じ条件で比べるための最も簡単な方法です。